Expérimentation déductive

Si nous considérons notre exemple antérieur et la balance équilibrée avec deux quantités de formes différentes mais de même poids, nous avions l’aiguille de la balance verticale signifiant cette
« égalité » de poids

Ajoutons sur chacun des plateaux un même objet triangulaire :

Nous savons instinctivement que l’aiguille de la balance restera verticale. Nous en déduisons que nous n’avons pas changé l’équilibre des poids en ajoutant sur chacun des plateaux un même objet.

Théorème : On ne change pas une égalité en effectuant une même opération dans chaque membre de l’égalité

Ainsi, si nous avons l’égalité : 2 + 6 = 8
et que je décide d’ajouter le nombre 7 à chaque membre de l’égalité, je pourrai écrire :

(2 + 6) + 7 = 8 + 7

De même si je décide de soustraire le nombre 3 à chaque membre de l’égalité, je pourrai écrire :

(2 + 6) – 3 = 8 – 3

De cette logique, nous pouvons en déduire que si nous avons l’égalité : 2 + 6 = 8 et que nous décidions de déduire le nombre 3 du second membre de l’égalité, pour que celle-ci reste vraie, il faudra faire la même opération dans le premier membre de l’égalité :

(2 + 6) = 8

(2 + 6) ≠ 8 – 3 Par contre nous aurons bien (2 + 6) – 3 = 8 – 3

que nous pouvons aussi écrire (2 + 6) – 3 = 5

De la même manière, si nous décidons de multiplier un membre d’une égalité par un nombre quelconque, pour que l’égalité demeure, il est impératif de multiplier également le second membre de l’égalité par ce même nombre :

6 = 5+1
2 x 6 = (5 + 1) x 2

Ce qui donne 12 = (5 + 1) x 2
Enfin, si nous décidons de diviser un membre d’une égalité par un nombre quelconque, pour que l’égalité

demeure, il est impératif de diviser également le second membre de l’égalité par ce même nombre :

18 = 6 x 3
18 : 2 = (6 x 3) : 2

Ce qui donne 9 = (6 x 3) : 2